Xét các số thực dương abxy thỏa mãn a > 1b > 1 và a^x =
Câu hỏi
Nhận biếtXét các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} .\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây ?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Biểu diễn \(x,y\) theo \(a,b\) rồi thay vào biểu thức đánh giá GTNN.
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\log _a}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\\y = {\log _b}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = x + 2y = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + 2.\dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _a}b + 1 + {\log _b}a\\ = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{{\log }_a}b}}{2} + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}\end{array}\)
Vì \(a > 1,b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\).
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \(\dfrac{{{{\log }_a}b}}{2},\,\,\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{{\log }_a}b}}{2} + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} \ge \dfrac{3}{2} + 2\sqrt {\dfrac{{{{\log }_a}b}}{2}.\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} \\ = \dfrac{3}{2} + 2.\sqrt {\dfrac{1}{2}} \\ = \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2} \approx 2,9 \in \left[ {\dfrac{5}{2};3} \right)\end{array}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là