Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip E x^216 + y
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Xét điểm \(M\)chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) luôn tiếp xúc với \(\left( E \right)\). Để đoạn \(MN\) có độ dài nhỏ nhất thì tọa độ điểm \(M\) và \(N\) là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và đường thẳng \(d:Ax + By + C = 0\).
Điều kiện để đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \(\left( E \right)\) là \({A^2}{a^2} + {B^2}{b^2} = {C^2}.\)
Giải chi tiết:
Điểm \(M\) chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\).
\( \Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right),\,N\left( {0;\,\,n} \right)\) với \(m > 0,\,\,n > 0\).
Phương trình đường thẳng \(MN\): \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\)
Để đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) thì: \({\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} \cdot 16 + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} \cdot 9 = 1\)
Ta có: \(M\left( {m;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - m;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow MN = \sqrt {{m^2} + {n^2}} \)
\( \Rightarrow M{N^2} = {m^2} + {n^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right).1\)\( = \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + \frac{9}{{{n^2}}}} \right)\)\( = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(M{N^2} = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \ge 25 + 2\sqrt {16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} \cdot 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}} = 49\)
\( \Rightarrow M{N^2} \ge 49\)
\( \Rightarrow MN \ge 7\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16{n^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{9{m^2}}}{{{n^2}}}\\{m^2} + {n^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 7 \\n = \sqrt {21} \end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện)
Vậy \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\) thì \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(7.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là