Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 7^n + 147 là số ch
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \({7^n} + 147\) là số chính phương.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đồng dư thức.
Giải chi tiết:
Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \({7^n} + 147\) là số chính phương.
\({7^n} + 147 = {k^2}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
Nếu \(n\) lẻ, ta có : \({7^n} \equiv {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\bmod \,4} \right) \Rightarrow {7^n} \equiv - 1\left( {\bmod \,4} \right) \Rightarrow {7^n} + 147 \equiv 2\left( {\bmod \,4} \right)\)
Mà \({k^2} \equiv 0,1\left( {\bmod \,4} \right)\)(số chính phương khi chia cho \(4\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\)), vô lý.
Vậy \(n\) chẵn. Đặt \(n = 2m\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\)
\({7^{2m}} + 147 = {k^2}\)
\( \Rightarrow m = 0\) không thỏa mãn.
Với \(m > 0:{7^{2m}} + 147 \vdots 7 \Rightarrow k \vdots 7 \Rightarrow k = 7q\left( {q \in \mathbb{N}} \right)\)
\({7^{2m}} + 147 = {\left( {7q} \right)^2} \Leftrightarrow {7^{2m - 2}} + 3 = {q^2}\)\( \Leftrightarrow {q^2} - {\left( {{7^{m - 1}}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left( {q - {7^{m - 1}}} \right)\left( {q + {7^{m - 1}}} \right) = 3\)
Vì \(q + {7^{m - 1}} > 0\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q - {7^{m - 1}} = 1\\q + {7^{m - 1}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\m = 1\end{array} \right. \Rightarrow n = 2.\)
Với \(n = 2\) thì \({7^n} + 147 = 196 = {14^2},\) thỏa mãn.
Vậy \(n = 2.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?