Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xln
Câu hỏi
Nhận biếtGọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \(\dfrac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)\) với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = a - {b^2}.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\),\(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)
Khi đó ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{2}{x}\ln xdx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\)
Đặt \(I = \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \dfrac{2}{3}\left[ {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2}}}{3}dx} } \right] = \dfrac{2}{3}\left. {\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \dfrac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\)
Khi đó \(V = \pi \left[ {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \dfrac{2}{9}{x^3}\ln x + \dfrac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right] = \dfrac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?