Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi
Câu hỏi
Nhận biếtGọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} e 0} \right)\). Tìm số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”. Phân tích \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\), chứng minh \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).
- Xác định các cặp số \(\left( {{a_7};{a_8}} \right)\) thỏa mãn \(10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\), từ đó tính số phần tử của biến cố M.
- Tính xác suất của biến cố M: \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} e 0} \right)\).
Số cách chọn \({a_1}\): 9 cách.
Số cách chọn 7 chữ số còn lại: \(A_9^7\) cách.
\( \Rightarrow \) Tập hợp A có \(9.A_9^7\) số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{9.A_9^7}^1 = 9.A_9^7\).
Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.
Ta có: \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\).
Vì \({10^k}\,\, \vdots \,\,25\,\,\forall k = \overline {2;8} ,\,\,k \in \mathbb{N}\) nên \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).
Do \({a_7},\,\,{a_8} \in \mathbb{N},\,\,0 \le {a_7},\,\,{a_8} \le 9\), \({a_7} e {a_8}\) nên \(0 < 10{a_7} + {a_8} \le 99\).
\( \Rightarrow 10{a_7} + {a_8} \in \left\{ {25;50;75} \right\}\).
Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên \({a_8} \in \left\{ {0;5} \right\}\).
TH1: \(10{a_7} + {a_8} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).
Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} e 0,\,\,{a_1} e {a_7},\,{a_8}} \right)\).
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.
TH2: \(10{a_7} + {a_8} = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = 5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = \dfrac{{45}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).
\(\) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).
Số cách chọn \({a_1}\): 8 cách \(\left( {{a_1} e {a_7},\,{a_8}} \right)\).
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(8.A_7^5\) số.
TH3: \(10{a_7} + {a_8} = 75 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{75}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 7\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).
Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} e 0,\,\,{a_1} e {a_7},\,{a_8}} \right)\).
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.
\( \Rightarrow n\left( M \right) = 2.7.A_7^5 + 8.A_7^5 = 55440\).
Vậy xác suất của biến cố M là \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{55440}}{{9.A_9^7}} = \dfrac{{11}}{{324}}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là