Giả sử 1 + x + x^2 + x^3 ^4 = a0 + a1x + a2x^2 + + a1
Câu hỏi
Nhận biếtGiả sử \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^4} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\,\,\left( {{a_i} \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị của tổng \(S = C_4^0{a_4} - C_4^1{a_3} + C_4^2{a_2} - C_4^3{a_1} + C_4^4{a_0}\) bằng:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Phân tích \(1 + x + {x^2} + {x^3}\) thành nhân tử.
- Khai triển nhị thức Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).
- Tìm \({a_0},\,\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{a_4}\) lần lượt là hệ số của các số hạng không chứa x, chứa x, chứa \({x^2},\,\,{x^3},\,\,{x^4}\).
- Thay vào tính \(S\).
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^4}\\ = {\left( {1 + x + {x^2}\left( {x + 1} \right)} \right)^4}\\ = {\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\\ = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k{x^k}\sum\limits_{m = 0}^4 {C_4^m{x^{2m}}} } \end{array}\)
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}\left( {k;m} \right) = \left( {0;0} \right) \Rightarrow {a_0} = C_4^0.C_4^0 = 1\\\left( {k;m} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow {a_1} = C_4^1C_4^0 = 4\\\left( {k;m} \right) \in \left\{ {\left( {2;0} \right);\left( {0;1} \right)} \right\} \Rightarrow {a_2} = C_4^2C_4^0 + C_4^0.C_4^1 = 10\\\left( {k;m} \right) \in \left\{ {\left( {3;0} \right);\left( {1;1} \right)} \right\} \Rightarrow {a_3} = C_4^3C_4^0 + C_4^1.C_4^1 = 20\\\left( {k;m} \right) \in \left\{ {\left( {4;0} \right);\left( {2;1} \right);\left( {0;2} \right)} \right\} \Rightarrow {a_4} = C_4^4C_4^0 + C_4^2C_4^1 + C_4^0.C_4^2 = 31\end{array}\)
Vậy \(S = C_4^0{a_4} - C_4^1{a_3} + C_4^2{a_2} - C_4^3{a_1} + C_4^4{a_0} = - 4\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là