Để phương trình sin ^6x + cos ^6x = a| sin 2x | có nghi

Lời giải của Tự Học 365

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi: \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\).

- Đặt ẩn phụ \(t = \left| {\sin 2x} \right|\,\,\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Giải phương trình bậc hai, chứng minh phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

- Giải bất phương trình \(0 \le t \le 1\) tìm \(m\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = a\left| {\sin 2x} \right|\\ \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x = a\left| {\sin 2x} \right|\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}2x + 4a\left| {\sin 2x} \right| - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \left| {\sin 2x} \right|\,\,\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\), phương trình (1) trở thành \(3{t^2} + 4at - 4 = 0\,\,\left( 2 \right)\).

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {2a} \right)^2} - 3.\left( { - 4} \right) = 4{a^2} + 12 > 0\,\,\forall a \in \mathbb{R}\), do đó phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Lại có \(ac =  - 12 < 0\) nên phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3}\\{t_2} = \dfrac{{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3}\end{array} \right.\).

Ta có: \({t_1} < {t_2}\) nên \({t_1} < 0 < {t_2}\).

Để phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left[ {0;1} \right]\) thì

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3} < 0\\0 < {t_2} = \dfrac{{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3} \le 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\0 <  - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  \le 3\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (*):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4{a^2} + 12}  >  - 2a\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2a < 0\\\left\{ \begin{array}{l} - 2a \ge 0\\4{a^2} + 12 > 4{a^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\a \in \mathbb{R}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a \in \mathbb{R}\end{array}\)  

Giải (**):

\(\begin{array}{*{20}{l}}{0 <  - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  \le 3}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  > 0}\\{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  \le 3}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{a^2} + 12}  > 2a}\\{\sqrt {4{a^2} + 12}  \le 2a + 3}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a \ge 0}\\{4{a^2} + 12 > 4{a^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 3 \ge 0}\\{4{a^2} + 12 \le 4{a^2} + 12a + 9}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 3 \ge 0}\\{4{a^2} + 12 \le 4{a^2} + 12a + 9}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge  - \frac{3}{2}}\\{12a \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge  - \frac{3}{2}}\\{a \ge \frac{1}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a \ge \frac{1}{4}}\end{array}\)

Kết hợp 2 bất phương trình ta được \(a \ge \frac{1}{4}\).

Chọn D.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{0 <  - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  \le 3}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  > 0}\\{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12}  \le 3}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{a^2} + 12}  > 2a}\\{\sqrt {4{a^2} + 12}  \le 2a + 3}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a \ge 0}\\{4{a^2} + 12 > 4{a^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 3 \ge 0}\\{4{a^2} + 12 \le 4{a^2} + 12a + 9}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 3 \ge 0}\\{4{a^2} + 12 \le 4{a^2} + 12a + 9}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge  - \frac{3}{2}}\\{12a \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge  - \frac{3}{2}}\\{a \ge \frac{1}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a \ge \frac{1}{4}}\end{array}\)

Kết hợp 2 bất phương trình ta được \(a \ge \frac{1}{4}\).