Chứng minh rằng J = 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất: Một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}J = {10^n} + 18n - 1 = \left( {{{10}^n} - 1} \right) + 18n\\\,\,\,\,\,\, = \underbrace {999....9}_{n\,\,\,chu\,\,so\,\,9} + 18n = 9\left( {\underbrace {111....1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} + 2n} \right)\end{array}\)
Đặt \(I = \underbrace {111....1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} + 2n \Rightarrow J = 9I.\)
Xét biểu thức: \(I = \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} + 2n = \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} - n + 3n\)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho \(3.\)
Ta có số \(\underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1}\) có tổng là: \(1 + 1 + .... + 1 = n.1 = n.\)
\( \Rightarrow \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1}\) và \(n\) có cùng số dư trong phép chia cho \(3.\)
\( \Rightarrow \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} - n\) chia hết cho \(3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow 9I \vdots \,\,27 \Rightarrow J\,\, \vdots \,\,27.\end{array}\)
Vậy \(J = {10^n} + 18n - 1\,\,\, \vdots \,\,\,27\,\)(đpcm).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là