Chứng minh các hệ thức sau a kCn^k = nCn - 1^k - 1
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh các hệ thức sau:
a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) b) \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)
c) \(C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2} = C_{n + 2}^k\) d) \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) và khai triển \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \).
Giải chi tiết:
a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\).
\(\begin{array}{l}VT = kC_n^k = k.\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\VP = nC_{n - 1}^{k - 1} = n.\dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - 1 - k + 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)
Vậy \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\).
b) \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)
\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{k + 1}}.\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k!} \right)}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\VP = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \dfrac{1}{{n + 1}}.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n + 1 - k - 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{1}{{k + 1}}C_n^k = \dfrac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\).
c) \(C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2} = C_{n + 2}^k\)
Chứng minh \(C_n^k + C_n^{k - 1} = C_{n + 1}^k\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,C_n^k + C_n^{k - 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}\left[ {\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{{n - k + 1}}} \right]\\ = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}.\dfrac{{n - k + 1 + k}}{{k\left( {n - k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}}.\dfrac{{n + 1}}{{k\left( {n - k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n - k + 1} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)
Khi đó áp dụng ta có :
\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {C_n^k + C_n^{k - 1}} \right) + \left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} = C_{n + 2}^k = VP\end{array}\)
Vậy \(C_n^k + 2C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2} = C_{n + 2}^k\).
d) \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {x^n}C_n^n\\{\left( {x + 1} \right)^n} = {x^n}C_n^0 + {x^{n - 1}}C_n^1 + {x^{n - 2}}C_n^2 + ... + xC_n^{n - 1} + C_n^n\\{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + xC_{2n}^1 + {x^2}C_{2n}^2 + ... + {x^{2n - 1}}C_{2n}^{2n - 1} + {x^n}C_{2n}^{2n}\end{array}\)
Ta có \({\left( {1 + x} \right)^n}.{\left( {x + 1} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^{2n}}\).
Hệ số của \({x^n}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^n}.{\left( {x + 1} \right)^n}\) là \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + ... + \left( {C_n^n} \right)h2\).
Hệ số của \({x^n}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{2n}}\) là \(C_{2n}^n\).
Vậy \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là