Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a Gọi MN lần lượt là
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BC\); \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
a) Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.
b) Xác định thiết diện, chứng minh thiết diện là tam giác cân. Hạ đường cao, sử dụng tính chất tam giác đều, định lí Pytao tính chiều cao và cạnh đáy tương ứng, từ đó tính diện tích tam giác.
Giải chi tiết:
a) Xét \(\left( {ABP} \right)\) và
b) \(\left( {ACD} \right)\) có:
+ \(A\) là điểm chung thứ nhất.
+ Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(Q = BP \cap CD\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in BP \subset \left( {ABP} \right) \Rightarrow Q \in \left( {ABP} \right)\\Q \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow Q \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow Q \in \left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
Vậy \(\left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AQ\).
b) Vì \(P\) là trọng tâm \(\Delta BCD\), \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(N,\,\,P,\,\,D\) thẳng hàng.
Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\) là tam giác \(MND\).
Xét tam giác \(MND\) ta có \(MN = \dfrac{{AB}}{2} = a\) (do \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)).
\(DM = DN = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (do tam giác \(BCD,\,\,ACD\) đều cạnh \(2a\)) \( \Rightarrow \Delta MND\) cân tại \(D\).
Kẻ \(DH \bot MN\,\left( {H \in MN} \right)\)\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MN\).
Ta có: \(DH = \sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy \({S_{MND}} = \dfrac{1}{2}DH.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?