Cho tham số thực m biết rằng phương trình 4^x - m + 4
Câu hỏi
Nhận biếtCho tham số thực \(m\), biết rằng phương trình \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4\). Giá trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Đặt \({2^x} = t > 0\), đưa phương trình đã cho \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\)về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\) (2).
- Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\), tìm điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt: \(\Delta > 0,\,\,S > 0,\,\,P > 0\).
- Áp dụng định lí Vi-ét tìm \({t_1} + {t_2}\), \({t_1}{t_2}\).
- Dựa vào giả thiết \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4\) tìm tổng \(S' = {x_1} + {x_2},\,\,P' = {x_1}{x_2}\).
- Tìm \({x_1},\,\,{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({S^2} - S'X + P' = 0\) (Định lí Vi-ét đảo).
- Thay vào tổng hai nghiệm \(t\) tìm \(m\), đối chiếu điều kiện.
Giải chi tiết:
Ta có: \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\) (1)
Đặt \({2^x} = t > 0\), phương trình (1) trở thành : \({t^2} - \left( {m + 4} \right)t + 2 = 0\) (2)
Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8 > 0\\m + 4 > 0\\2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 - 4\\m < - 2\sqrt 2 - 4\end{array} \right.\\m > - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\sqrt 2 - 4.\)
Áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = m + 4\\{t_1}{t_2} = 2\end{array} \right.\).
Ta có: \({x_1} = {\log _2}{t_1},\,\,{x_2} = {\log _2}{t_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left( {{t_1}.{t_2}} \right) = {\log _2}2 = 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = - 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \)\({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - X - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = - 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = 2\end{array} \right.\).
Khi đó: \({t_1} + {t_2} = {2^2} + {2^{ - 1}} = \dfrac{9}{2}\)\( \Leftrightarrow m + 4 = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(m = \dfrac{1}{2} \in \left( { - \infty ;1} \right).\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?