Cho tam giác MNP cân tại M đường cao MI và NK cắt nhau
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(MNP\) cân tại \(M,\) đường cao \(MI\) và \(NK\) cắt nhau tại \(O.\) Đường tròn \(\left( {O;\,OK} \right)\) cắt \(MI\) tại \(G\) và \(E\) (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(MN = MP = \sqrt 3 \) và \(MG = EI.\) Tính \(OK.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Đặt \(NP = 2x\) (ĐK: \(x > 0\)). Tính \(MI\) theo \(x\).
- Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(MI\), tính \(OM,\,\,OI\) theo \(x\). Từ đó tính \(ON\) theo \(x\).
- Chứng minh \(\Delta ONI\) và \(\Delta PNK\) đồng dạng, từ đó tính \(NK\) theo \(x\).
- Chứng minh \(MI.NP = NK.MP\), giải phương trình tìm \(x\).
- Tính \(OK = NK - ON\).
Giải chi tiết:
Đặt \(NP = 2x\) (ĐK: \(x > 0\)).
Vì \(\Delta MNP\) cân tại \(M\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(I\) là trung điểm của \(NP\) (đường cao đồng thời là đường trung tuyến).
\( \Rightarrow NI = IP = x\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(MIP\) ta có: \(M{I^2} = M{P^2} - I{P^2} = 3 - {x^2}\) \( \Rightarrow MI = \sqrt {3 - {x^2}} \).
Ta có: \(MG = EI\,\,\left( {gt} \right),\,\,OG = OE\) (= bán kính của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow OM = OI\).
\( \Rightarrow OM = OI = \dfrac{1}{2}MI = \dfrac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OIN\) có:
\(\begin{array}{l}O{N^2} = N{I^2} + O{I^2}\\O{N^2} = {x^2} + \dfrac{{3 - {x^2}}}{4} = \dfrac{{3{x^2} + 3}}{4}\\ \Rightarrow ON = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt {{x^2} + 1} \end{array}\)
Xét \(\Delta ONI\) và \(\Delta PNK\) có \(\angle KNP\) chung; \(\angle OIN = \angle PKN = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta ONI \sim \Delta PNK\,\,\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{ON}}{{PN}} = \dfrac{{NI}}{{NK}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2.2x}} = \dfrac{x}{{NK}}\\ \Rightarrow NK = \dfrac{{4{x^2}}}{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Ta có: \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{2}MI.NP = \dfrac{1}{2}NK.MP\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MI.NP = NK.MP\\ \Rightarrow \sqrt {3 - {x^2}} .2x = \dfrac{{4{x^2}}}{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}.\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt {3 - {x^2}} .\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\\ \Leftrightarrow \left( {3 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 3 = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 3{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 3\,\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)
Với \(x = 1\) ta có \(NK = \dfrac{4}{{\sqrt 3 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\), \(ON = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \(OK = NK - ON = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là