Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R đường kính AB T
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
a) Chứng minh \(\Delta MAO = \Delta MEO\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MEO\) mà \(\angle MAB = {90^0}\) suy ra \(\angle MEO = {90^0}\)
Do đó \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
b) Chứng minh \(MI\) là phân giác của \(\angle AME\) và \(AI\) là phân giác của \(\angle MAE\) suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta AME\).
c) Chứng minh \(\Delta MOP\) vuông tại \(O\)
Tính được \({S_{\Delta OMP}} = \frac{1}{2}OE.MP\)
Vận dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm giá trị nhot nhất
d) Gọi \(F\) là giao điểm của \(QD,AB\) và \(G\) là giao điểm của \(AE,BP\)
Chứng minh \(PG = PB\) và \(MA = MC\)
Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(QF\)
Chứng minh \(\angle DAF = \angle PAB\)\( \Rightarrow A,D,P\) thẳng hàng
Giải chi tiết:
a) Do \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(OM\) nên \(MA = ME\,;\,\,OA = OE\)
Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta MEO\) có:
\(\left. \begin{array}{l}MA = ME\left( {cmt} \right)\\OA = OE\left( {cmt} \right)\\MO\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAO = \Delta MEO\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MEO\) (1) (hai góc tương ứng)
\(Ax\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow Ax \bot AB \Rightarrow \angle MAB = {90^0}\) hay \(\angle MAO = {90^0}\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle MEO = {90^0}\) mà \(E \in \left( O \right)\)
Do đó \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
b) \(AM,EM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow MI\) là phân giác của \(\angle AME\) (3) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: \(A,E\) đối xứng với nhau qua \(OM \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AE\)
Mà \(I \in OM \Rightarrow IA = IE\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Lại có: \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle MAI = \angle IEA = \angle IAE\)
\( \Rightarrow AI\) là phân giác của \(\angle MAE\) (4)
Từ (3) và (4), suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta AME\).
c) Ta có: \(OE = OB\) (bán kính đường tròn \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \Delta OBE\) cân tại \(O\)
mà \(N\) là trung điểm của \(BE \Rightarrow ON \bot BE \Rightarrow OP \bot BE\) (vì \(O,N,P\) thẳng hàng)
Ta có: \(E \in \left( O \right) \Rightarrow \angle AEB = {90^0} \Rightarrow AE \bot EB\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot OP\\BE \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow OP//AE\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
\(MO\) là đường trung trực của đoạn \(AE \Rightarrow MO \bot AE\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP//AE\\MO \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow MO \bot OP\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
\( \Rightarrow \angle MOP = {90^0}\) nên \(\Delta MOP\) vuông tại \(O\)
\(\Delta MOP\) vuông tại \(O\) có \(OE \bot MP\) (do \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
\( \Rightarrow MP.EP = O{E^2} = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow {S_{\Delta OMP}} = \frac{1}{2}OE.MP = \frac{1}{2}R.\left( {ME + EP} \right) \ge \frac{1}{2}R.2\sqrt {ME.EP} = \frac{1}{2}R.2R = {R^2}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(ME = EP = R \Rightarrow \Delta MEO\) vuông cân tại \(E \Rightarrow OM = R\sqrt 2 = OA\sqrt 2 \Rightarrow MA = R\)
d) Gọi \(F\) là giao điểm của \(QD,AB\)
\(G\) là giao điểm của \(AE,BP\)
Ta có: \(OP//AE\left( { \bot BE} \right),O\) là trung điểm của \(AB\)
\( \Rightarrow OP\) là đường trung bình của tam giác \(ABG\)
\( \Rightarrow P\) là trung điềm của \(BG\)
\( \Rightarrow PG = PB\)
Ta có: \(C\) là giao điểm của \(BE,AM\)
Chứng minh tương tự, ta có được \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow MA = MC\)
Lại có: \(QF//AC\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{QD}}{{MC}} = \frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{DF}}{{MA}}\\ \Rightarrow QD = DF\end{array}\)
\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(QF\)
Ta có: \(QF//BG\left( { \bot AB} \right)\)
\(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{QF}}{{GB}} = \frac{{2DF}}{{2BP}} = \frac{{DF}}{{BF}}\)
Lại có: \(\angle AFD = \angle ABP\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\( \Rightarrow A,D,P\) thẳng hàng
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là