Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội
Câu hỏi
Nhận biếtCho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) có số đo bằng \(\varphi \) sao cho \(\cos \varphi = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\). Tính theo a thể tích của khối chóp đã cho.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(ABCD\) là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a nên AD = CD = BC = a và \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\).
Trong (SAC) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
Trong (ABCD) kẻ \(AM \bot CD\,\,\left( {M \in CD} \right)\), trong (SAM) kẻ \(AK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot CD\\AK \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AK\, \bot \left( {SCD} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {AH;AK} \right)\).
Lại có \(AK \bot \left( {SCD} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AK \bot HK\). Do đó tam giác AHK vuông tại K \( \Rightarrow \angle HAK\) là góc nhọn.
Do đó \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {AH;AK} \right) = \angle HAK = \varphi \) và \(\cos \angle HAK = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Đặt \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).
ABCD là nửa lục giác đều nên \(\angle DAB = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle DAM = {30^0}\) \( \Rightarrow AM = AD.\cos {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l}AH = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{x.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}\\AK = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}\end{array}\)
Xét tam giác AHK vuông tại K ta có: \(\cos \angle HAK = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{AK}}{{AH}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}:\dfrac{{x.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}.\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}{{x.a\sqrt 3 }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}{{2\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}\\ \Leftrightarrow 40\left( {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \right) = 25\left( {{x^2} + 3{a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 40{x^2} + 30{a^2} = 25{x^2} + 75{a^2}\\ \Leftrightarrow 15{x^2} = 45{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \end{array}\)
Ta có: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AM}}{2} = \dfrac{{\left( {2a + a} \right).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{2} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là