Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có đáy ABCD là hình vuôn

Lời giải của Tự Học 365

a) \(ABC'D'\) là hình bình hành và \(AB \bot BC'\)\( \Rightarrow ABC'D'\) là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự ta có: \(CDA'B'\) là hình chữ nhật.

b) Hình hộp chữ nhật có chiều dài là \(a\) , chiều rộng là \(b\) và chiều cao là \(h\) và \({S_d}\) là diện tích đáy

+ Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: \({S_{xq}} = 2\left( {a + b} \right).h\)

+ Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d}\)

+ Thể tích hình hộp chữ nhật là: \(V = a.b.h\)

c) Ta sẽ chứng minh: \(SA = SB = SC = SD\)

Mà \(ABCD\) là hình vuông (gt)

\( \Rightarrow S.ABCD\) là hình chóp đều.

d) Hình chóp có : \(p\) là nửa chu vi đáy, \(d\) là trung đoạn, \(h\) là chiều cao, \({S_d}\) diện tích đáy

Diện tích xung quanh : \({S_{xq}} = 2p.d\)

Diện tích toàn phần : \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}\)

Thể tích : \(V = \dfrac{1}{3}.{S_d}.h\)

Giải chi tiết:

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật (gt) \( \Rightarrow ABB'A'\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'//AB\\A'B' = AB\end{array} \right.\) (tính chất hình chữ nhật)

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật  và \(ABCD\) là hình vuông (gt) \( \Rightarrow A'B'C'D'\) là hình vuông.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'//CD\\A'B' = CD\end{array} \right.\) (tính chất hình vuông)

Xét tứ giác \(ABC'D'\), ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AB//C'D'\left( {//A'B'} \right)\\AB = C'D'\left( { = A'B'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ABC'D'\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) (1)

Vì \(ABB'A'\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow AB \bot BB'\) (tính chất hình chữ nhật)

\(ABCD\) là hình vuông (gt) \( \Rightarrow AB \bot BC\) (tính chất hình vuông)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot BB'\\AB \bot BC\\BB',BC \subset \left( {BCC'B'} \right)\\BB' \cap BC = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Mà \(BC' \subset \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot BC'\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(ABC'D'\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Chứng minh tương tự ta có: \(CDA'B'\) là hình chữ nhật.

b) Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: \({S_{xq}} = 4AB.AA' = 4.20.19,4 = 1552\;cm{\,^2}\)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{ABCD}} = 1552 + {2.20^2} = 2352\;c{m^2}\)

Thể tính hình hộp chữ nhật là: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = A{B^2}.AA' = {20^2}.19,4 = 7760c{m^3}\)

c) Vì \(ABB'A'\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow AA' \bot AB\)

\(ADD'A'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AA' \bot AD\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AA' \bot AB\\AA' \bot AD\\AB,AD \subset \left( {ABCD} \right)\\AB \cap AD = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow AA' \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta dễ dàng chứng minh được \(ACC'A'\) là hình chữ nhật.

Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông (cmt) và \(A'C' \cap B'D' = \left\{ S \right\} \Rightarrow S\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\)

\( \Rightarrow S\) là trung điểm của các cạnh \(A'C',B'D'\) (tính chất hình vuông)

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\)\( \Rightarrow O\) là trung điểm của các cạnh \(AC,BD\) (tính chất hình vuông)

Ta có:  \(S\) là trung điểm của \(A'C'\)(cmt)

\(O\) là trung điểm của \(AC\) (cmt)

\( \Rightarrow SO\) là đường trung bình của hình chữ nhật \(ACC'A'\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO//AA'//CC'\\SO = AA' = CC' = 19,4cm\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}SO//AA'\\AA' \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC\)

Xét \(\Delta SAC\) có:

\(SO\) là đường trung tuyến (\(O\) là trung điểm \(AC\))

\(SO\) là đường cao \(\left( {SO \bot AC} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta SAC\) cân tại \(S\) (tính chất 3 đường) \( \Rightarrow SA = SC\) (tính chất tam giác cân)

Chứng minh tương tự ta có: \(SB = SD\)

Lấy \(M\) là trung điểm \(AB\left( {M \in AB} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(O\) là trung điểm các cạnh \(AC,BD\) (cmt)\( \Rightarrow OA = OD \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\)

Mà \(OM\) là đường trung tuyến của \(\Delta OAB \Rightarrow OM \bot AB\)

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\\SO,OM \subset \left( {SOM} \right)\\SO \cap OM = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right)\)

Mà \(SM \subset \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\)

Xét \(\Delta SAB\) có:

\(SM\) là trung tuyến (\(M\) là trung điểm của \(AB\))

\(SM\) là đường cao \(\left( {AB \bot SM} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta SAB\) cân tại \(S \Rightarrow SA = SB\)

Xét hình chóp \(S.ABCD\) có :

\(ABCD\) là hình vuông (gt)

\(SA = SB = SC = SD\)

\( \Rightarrow S.ABCD\) là hình chóp đều.

d) Dễ dàng chứng minh được \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow OM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{20}}{2} = 10cm\)

Vì \(SO \bot OM\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta SOM\)vuông tại \(O\).

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\), ta có :

\(\begin{array}{l}S{M^2} = S{O^2} + O{M^2} = {19,4^2} + {10^2} = 476,36\\ \Rightarrow SM = 21,82\;cm\end{array}\)

Áp dụng định Py – ta – go vào \(\Delta SAM\) vuông tại \(M\) ta có :

\(\begin{array}{l}S{A^2} = S{O^2} + O{A^2} = {19,4^2} + {\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} = 576,36\\ \Rightarrow SA \approx 24cm\end{array}\)

Diện tích xung quanh của hình chóp là : \({S_{xq}} = {C_{ABCD}}.SM = 4AB.SM = 4.20.21,83 = 1746,4\;c{m^2}\)

Diện tích toàn phần của hình chóp là : \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{ABCD}} = 1746,4 + {2.20^2} = 2546,4\;c{m^2}\)

Thể tích hình chóp là : \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{.19,4.20^2} = 2586,67\;c{m^3}\)