Cho hình chóp SABC có mặt phẳng SAC vuông góc với mặt
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Chứng minh \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).
- Kẻ \(SI \bot \left( {ABC} \right)\), xác định góc giữa SC và (ABC).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SA.
- Gọi K là trung điểm của SA. Tính HK, BK và sử dụng định lí Pytago tính BH.
- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}BH.{S_{\Delta SAC}}\).
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\).
Tam giác \(ABC\) cân tại B (do \(BC = BA = a\sqrt 3 \)) \( \Rightarrow BH \bot AC\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\BH \subset \left( {ABC} \right),\,\,BH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow BK \bot SA\) (do tam giác SAB đều).
Mà \(BH \bot SA \Rightarrow SA \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SA \bot HK\).
Lại có \(HK//SC\) (do \(HK\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\))
\( \Rightarrow SA \bot SC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S\).
Trong mp\(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(SI \bot AC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,CI} \right) = \angle SCI = {60^0}\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại S\(\,\, \Rightarrow SC = SA.\cot C = a\sqrt 3 .\cot {60^0} = a\).
\( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{1}{2}SA.SC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Ta lại có: \(HK = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{a}{2}\), \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 3 \Rightarrow BK = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
\(\Delta BHK\) vuông tại \(H \Rightarrow BH = \sqrt {B{K^2} - H{K^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \).
Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}BH.{S_{SAC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?