Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a SA
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là giao điểm của trục của mặt đáy và cạnh bên \(SA\).
- Sử dụng tính chất tam giác đều, định lí Pytago tính bán kính \(R\) của mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Giải chi tiết:
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\), \(d\) là đường thẳng qua \(G\) và song song với \(SA\) \( \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(G\) cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), do đó đường thẳng \(d\) là trục của \(\left( {ABC} \right)\).
Kẻ đường thẳng vuông góc với \(SA\) tại trung điểm \(P\) của \(SA\), cắt đường thẳng \(d\) tại \(I\).
Ta có: \(PI\) là trung trực của \(SA\) nên \(IS = IA\).
\(I \in d\) nên \(IA = IB = IC\).
\( \Rightarrow IS = IA = IB = IC.\)
Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) có tâm \(I\), bán kính \(R = IA\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4a\) nên \(AM = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.2a\sqrt 3 = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).
Vì \(AGIP\) là hình chữ nhật nên \(AG = IP = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = {30^0}\).
\( \Rightarrow SA = AM.\tan {30^0} = 2a\sqrt 3 .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = 2a\) \( \Rightarrow AP = a\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(API\) có: \(IA = \sqrt {I{P^2} + A{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{3}\).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là: \(S = 4\pi .I{A^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt {57} }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{76\pi {a^2}}}{3}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?