Cho hàm số fx liên tục trên mathbbR và thỏa mãn xf x^3
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Nhân hai vế \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\) với x.
Tích phân hai vế \({x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}\) từ -1 đến 0 và từ 0 đến 1.
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}} \right)dx} \end{array}\)
+) Đặt \(A = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} \).
Đặt \({x^3} = t \Leftrightarrow 3{x^2}dx = dt \Leftrightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = - 1\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).
Thay: \(A = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).
+) Đặt \(B = \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} \)
Đặt \(1 - {x^2} = t \Leftrightarrow - 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = - \dfrac{{dt}}{2}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 0\x = 0 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
Thay: \(B = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\dfrac{{ - dt}}{2}} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - 17}}{{24}}\).
----------------------------
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}} \right)dx} \end{array}\)
+) Đặt \(C = \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} \).
Đặt \({x^3} = t \Leftrightarrow 3{x^2}dx = dt \Leftrightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
Thay: \(C = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
+) Đặt \(D = \int\limits_0^1 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} \)
Đặt \(1 - {x^2} = t \Leftrightarrow - 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = - \dfrac{{dt}}{2}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).
Thay: \(B = \int\limits_1^0 {f\left( t \right)\dfrac{{ - dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - 5}}{8}\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{6}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - 5}}{8} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{3}{4}.\end{array}\).
Vậy \( \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - 3}}{4} = \dfrac{{ - 17}}{{24}} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{{13}}{4}.\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là