Cho hàm số f x với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Xác định tọa độ điểm I, lập hàm số f(x).
- Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = - 1,x = 2\) nên \(g'\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), tính \(g\left( x \right) = \int {g'\left( x \right)dx} \) theo 2 biến a, b.
- Điểm I thuộc g(x).
- Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\), đưa về phương trình bậc ba, sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba.
- Giải hệ tìm a, b và suy ra hàm g(x).
- Giải phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm các cận, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
Giải chi tiết:
Dễ thấy \(I\left( {\dfrac{1}{2}, - \dfrac{7}{{12}}} \right)\) (do I là đỉnh của (P)) và \(f\left( x \right) = \dfrac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = - 1,x = 2\) nên \(g'\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
\( \Rightarrow g\left( x \right) = a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right) + b\).
Đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) đi qua \(I\) nên \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{7}{{12}} \Leftrightarrow - \dfrac{7}{{12}} = - \dfrac{{13}}{{12}}a + b\) \(\left( 1 \right)\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right) + b = \dfrac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\ \Leftrightarrow 18a{x^3} - 27a{x^2} - 108ax + 54b = 14{x^2} - 14x - 28\ \Leftrightarrow 18a{x^3} - \left( {27a + 14} \right){x^2} - \left( {108a - 14} \right)x + 54b + 28 = 0\end{array}\)
Theo định lý viet ta có: \(18{x_1}{x_2}{x_3} = - 55 \Leftrightarrow 18.\dfrac{{54b + 28}}{{18a}} = - 55 \Rightarrow 54b + 28 = - 55a\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) ta được \(a = 1,\,\,b = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow g\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{1}{2}\).
Khi đó \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow 18{x^3} - 41{x^2} - 94x + 55 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {18{x^2} - 32x - 110} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\x = \dfrac{{8 + \sqrt {559} }}{9}\x = \dfrac{{8 - \sqrt {559} }}{9}\end{array} \right.\)
Từ đó suy ra diện tích miền tô đậm là: \(S = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{{8 + \sqrt {559} }}{9}} {\left[ {\dfrac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{1}{2}} \right)} \right]dx} \approx 5,7\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là