Cho hàm số f x có f 0 = 0 và f' x = cos xcos ^22xfor
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \cos x.{\cos ^2}2x,\,\forall \,x \in \,\mathbb{R}.\). Khi đó \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} \) bằng
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx.} \)
Từ đó ta tính tích phân cần tìm.
Chú ý công thức biến đổi lượng giác \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right)\)
Giải chi tiết:
Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx.} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {\cos x{{\cos }^2}2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {\cos x.\dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\cos x + \cos x\cos 4x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\cos xdx} + \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 5x + \cos 3x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{\sin 5x}}{5} + \dfrac{{\sin 3x}}{3}} \right) + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{1}{{20}}\sin 5x + \dfrac{1}{{12}}\sin 3x + C\end{array}\)
Suy ra \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{1}{{20}}\sin 5x + \dfrac{1}{{12}}\sin 3x + C\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)
Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{1}{{20}}\sin 5x + \dfrac{1}{{12}}\sin 3x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{1}{{20}}\sin 5x + \dfrac{1}{{12}}\sin 3x} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{{20}}.\dfrac{{ - \cos 5x}}{5} + \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{ - \cos 3x}}{3}} \right)} \right|_0^\pi \\ = \left. {\left( { - \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{1}{{100}}\cos 5x - \dfrac{1}{{36}}\cos 3x} \right)} \right|_0^\pi \\ = - \dfrac{1}{2}\left( { - 1 - 1} \right) - \dfrac{1}{{100}}\left( { - 1 - 1} \right) - \dfrac{1}{{36}}\left( { - 1 - 1} \right)\\ = \dfrac{{242}}{{225}}.\end{array}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?