Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = {x^2}{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4}\) là:
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = {x^2}{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4}\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4} + 4{x^2}f'\left( {x - 1} \right){\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^3}\\\,\,\,\,\,\,g'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^3}\left[ {f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( {x - 1} \right) = 0\\f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\).
+ Xét phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 0\).
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác \(1\) nên phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác \(0\).
+ Xét phương trình \(f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\) \( \Rightarrow f\left( t \right) + 2\left( {t + 1} \right)f'\left( t \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\).
Dựa và BBT ta thấy, \(f\left( x \right)\) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a e 0} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm \(\left( { - 1;3} \right),\,\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;3} \right)\) và có ba điểm cực trị \(x = 0,\,\,x = \pm 1\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 8\\c = - 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = - 4{x^4} + 8{x^2} - 1\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = - 16{x^3} + 16x\).
Thay vào (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 4{t^4} + 8{t^2} - 1 + 2\left( {t + 1} \right)\left( { - 16{t^3} + 16t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 4{t^4} + 8{t^2} - 1 - 32{t^4} + 32{t^2} - 32{t^3} + 32t = 0\\ \Leftrightarrow - 36{t^4} - 32{t^3} + 40{t^2} + 32t - 1 = 0\end{array}\)
Xét hàm số \(h\left( t \right) = - 36{t^4} - 32{t^3} + 40{t^2} + 32t - 1\) ta có: \(h'\left( t \right) = - 144{t^3} - 96{t^2} + 80t + 32\).
Ta có: \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\\t = \dfrac{{ - 1}}{3}\\t = - 1\end{array} \right.\).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(h\left( t \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {x - 1} \right) - 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Do đó, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có tất cả 9 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = {x^2}{\left[ {f\left( {x - 1} \right)} \right]^4}\) có tất cả 9 điểm cực trị.
Chọn D.
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là