Cho đường tròn OR Một cát tuyến xy cắt O tại E và F
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nối tiếp để chứng minh
b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu góc giữa bán kính và đường thẳng đó bằng \({90^0}\)
Giải chi tiết:
a) Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B,\,\,C\) nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\) (gt)
\( \Rightarrow \angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow OBAC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) (dhnb) (1)
Ta có \(H\) là trung điểm của \(EF\) (gt) \( \Rightarrow OH \bot EF\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
\( \Rightarrow \angle OHA = {90^0}\) \( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn đường kính \(OA\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, C, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Ta có:
\(OB = OC = R \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC\).
\(AB = AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC\).
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow OA \bot BC\) tại \(I\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAB\) ta có: \(OI.OA = O{B^2} = {R^2}\) (3)
Xét tam giác \(OIK\) và \(\Delta OHA\) có:
\(\angle OIK = \angle OHA = {90^0}\)
\(\angle AOK\) chung
\( \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OHA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OA}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow OI.OA = OH.OK\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow OI.OA = OH.OK = {R^2}\) (đpcm).
c) Theo ý b) ta có \(OH.OK = {R^2} = O{E^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OK}}\).
Xét \(\Delta OEH\) và \(\Delta OKE\) có:
\(\angle EOK\) chung,
\(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OK}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OEH \sim \Delta OKE\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OHE = \angle OEK = {90^0}\) (2 góc tương ứng).
\( \Rightarrow KE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(E\).
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có
\(OH.OK = {R^2} = O{F^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OK}}\).
Xét \(\Delta OFH\) và \(\Delta OKF\) có:
\(\angle FOK\) chung,
\(\frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OK}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OFH \sim \Delta OKF\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OHF = \angle OFK = {90^0}\) (2 góc tương ứng).
\( \Rightarrow KF\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(F\).
Vậy KE, KF là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) (đpcm).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là