Cho đường tròn O đường kính AB Dây cung MN vuông góc vớ
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) \(\Delta ANB \sim \Delta KHB\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow NB.HK = AN.HB\)
c) \(HM \bot OM\) tại M.
Vậy HM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M (đpcm)
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn
Xét (O), có \(\angle AMB = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác AHKM có: \(\angle AMK + \angle AHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Mà 2 góc này ở vị trí đối diện
\( \Rightarrow \) Tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn. (dhnb)
b) Chứng minh rằng \(NB.HK = AN.HB\)
Vì dây cung MN vuông góc với đường kính AB tại I \( \Rightarrow \) I là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \) \(AI\) là đường trung trực của \(MN\)
\( \Rightarrow AM = AN\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow cungAM = cungAN\) (hai dây bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle MBA = \angle NBA\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét (O), có: \(\angle ANB = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta KHB\) có:
\(\begin{array}{l}\angle ANB = \angle KHB\,\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\\angle ABN = \angle ABM = \angle HBK\,\,\,\left( {cmt} \right)\ \Rightarrow \Delta ANB \sim \Delta KHB\,\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{HB}} = \dfrac{{AN}}{{KH}}\)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow NB.HK = AN.HB\) (đpcm)
c) Chứng minh HM là tiếp tuyến của (O).
Vì tứ giác AHKM là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\angle HMA = \angle HKA\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HA)(1)
Xét \(\Delta KHA\) vuông tại H có \(\angle KAH + \angle HKA = {90^0}\)
Xét \(\Delta ANB\) vuông tại N có \(\angle NAB + \angle ABN = {90^0}\)
Mà \(\angle KAH = \angle NAB\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle HKA = \angle ABN\)(2)
Mà \(\angle ABM = \angle ABN\,\,\,(cmt);\) \(\angle ABM = \angle BMO\) (do tam giác BMO cân tại O)
\( \Rightarrow \angle ABN = \angle BMO\)(3)
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \angle HMA = \angle BMO\)
Mà \(\angle AMO + \angle BMO = \angle AMB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \angle AMO + \angle HMA = 90^\circ \Rightarrow \angle HMO = {90^0}\) \( \Rightarrow HM \bot OM\) tại M.
Vậy HM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M (đpcm)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là