Cho Delta ABC có sin ^2B + sin ^2C = 2sin ^2A Khẳng địn
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) có \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Kết hợp sử dụng định lý sin và định lý cosin
Giải chi tiết:
Áp dụng định lý sin vào tam giác \(ABC\), ta được:
\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \)\(\dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \dfrac{a}{{2R}}\\\sin B = \dfrac{b}{{2R}}\\\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\end{array} \right.\)
Theo đề bài, ta có:
\({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\)
\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{b}{{2R}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{c}{{2R}}} \right)^2}\)\( = 2{\left( {\dfrac{a}{{2R}}} \right)^2}\)
\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\)
Áp dụng định lý cosin vào tam giác \(ABC\) ta được:
\({a^2} = {b^2} + c{}^2\)\( - 2bc\cos A\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Rightarrow \cos A = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - 2{a^2}}}{{4bc}} = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{4bc}}\\ \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}}\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta được: \({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)
\( \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}}\) \( \ge \dfrac{{2bc}}{{4bc}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\cos A \ge \dfrac{1}{2}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là