Cho các số thực dương xyz thỏa mãn xy + yz + zx =
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} = 2020\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{z + x}}\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt x \\b = \sqrt y \\c = \sqrt z \end{array} \right. \Rightarrow a,b,c > 0\)
\(\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} = 2020\)\( \Rightarrow ab + bc + ca = 2020\)
Ta có: \(Q = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\\ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ca\\ \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca = 2020\\ \Rightarrow Q \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \ge \dfrac{{2020}}{2} = 1010\\ \Rightarrow Q \ge 1010\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt {\dfrac{{2020}}{3}} \Rightarrow x = y = z = \dfrac{{2020}}{3}\)
Vậy GTNN của Q là \(1010\) khi \(x = y = z = \dfrac{{2020}}{3}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là