Cho các số nguyên x yz thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2{\rm{x}}yz\) nên \(2{\rm{x}}yz\) chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn.
Khi đó: \({x^2} \vdots 4;\,\,\,\,2{\rm{x}}yz \vdots 4 \Rightarrow {y^2} + {z^2} \vdots 4\) (*)
Nếu y lẻ \( \Rightarrow \) \({y^2}\) lẻ \( \Rightarrow \) lẻ \({z^2}\) \( \Rightarrow \) \(z\) lẻ
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2k + 1 \Rightarrow {y^2} = 4{k^2} + 4k + 1\z = 2m + 1 \Rightarrow {z^2} = 4{m^2} + 4m + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k;m \in Z} \right)\)
\( \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 4{k^2} + 4k + 4{m^2} + 4m + 2\)
\( \Rightarrow {y^2} + {z^2}\) chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*))
Do đó y chẵn và z chẵn \( \Rightarrow y \vdots 2;\,\,\,z \vdots 2\)
\( \Rightarrow xyz \vdots 8\,\,\,(1)\)
Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên \({x^2};{y^2};{z^2} \equiv 1(mo{\rm{d}}\,{\rm{3)}}\)
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \vdots 3\)
Do đó \(2xyz \vdots 3 \Rightarrow xyz \vdots 3\) (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3)
Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay \(xyz \vdots 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(xyz \vdots 24\)
Vậy \(xyz \vdots 24\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là