Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ phía trên có dạng n
Câu hỏi
Nhận biếtBác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng: đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình vẽ bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là \(8m.\) Em hãy giúp bác An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để của sổ có diện tích lớn nhất.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < x < 8} \right).\)
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right).\)
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(y\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < y < 8} \right).\)
Độ dài của khuôn gỗ làm cửa = Độ dài nửa đường tròn + cạnh trên của cửa + 2 x cạnh bên của cửa.
Từ đó biểu diễn \(y\) theo \(x.\) Biểu thị biểu thức diện tích của cửa theo \(x\) rồi tìm \(x\) để tìm GTLN của diện tích.
Giải chi tiết:
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < x < 8} \right).\)
\( \Rightarrow \) Bán kính của nửa đường tròn là: \(\dfrac{x}{2}\,\,\left( m \right).\)
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right).\)
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(y\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < y < 8} \right).\)
Độ dài nửa hình tròn phía trên là: \(\dfrac{1}{2}\pi .x = \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\left( m \right).\)
Khi đó ta có tổng độ dài các khuôn gỗ là:
\(\dfrac{{\pi x}}{2} + x + 2y = 8\) \( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)x + 2y = 8\)
\( \Leftrightarrow 2y = 8 - \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)x\) \( \Leftrightarrow y = 4 - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right)x\)
Diện tích của cửa sổ là: \(S = \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + xy = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + xy\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow S = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + x\left[ {4 - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right)x} \right]\\ \Leftrightarrow S = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + 4x - \left( {\dfrac{{\pi + 2}}{4}} \right){x^2}\\ \Leftrightarrow S = - \left( {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2}} \right){x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}{x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}\left( {{x^2} - \dfrac{{32}}{{\pi + 4}}x} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}\left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{{16}}{{\pi + 4}} + {{\left( {\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{{\pi + 4}}{8}{\left( {x - \dfrac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{32}}{{\pi + 4}} \le \dfrac{{32}}{{\pi + 4}}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - \dfrac{{16}}{{\pi + 4}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{16}}{{\pi + 4}}\,\,\left( {tm} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 - \dfrac{{\pi + 2}}{4}.\dfrac{{16}}{{\pi + 4}} = \dfrac{{4\pi + 16 - 4\left( {\pi + 2} \right)}}{{\pi + 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4\pi + 16 - 4\pi - 8}}{{\pi + 4}} = \dfrac{8}{{\pi + 4}}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy khi cửa sổ có diện tích lớn nhất thì độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là: \(\dfrac{{16}}{{\pi + 4}}\,\,m\) và cạnh bên của hình chữ nhật là: \(\dfrac{8}{{\pi + 4}}\,m.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?