Hình chóp tam giác đều SABC có các mặt là tam giác đều
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là : \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(O{C^2} + O{B^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2} = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta BOC\) vuông cân tại \(O\) (định lí Py – ta – go đảo) \( \Rightarrow \angle BOC = 90^\circ \)
Chứng minh tương tự ta được: \(\angle AOC = \angle AOC = 90^\circ \)
Giải chi tiết:
Gọi \(a\) là cạnh của hình chóp tam giác đều và \(M\) là trung điểm của \(AB\).
Vì \(\Delta ABC\) đều và \(CM\) đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (\(M\)là trung điểm của \(AB\))
\( \Rightarrow CM\) là đường cao của tam giác đều cạnh \(a\)\( \Rightarrow CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì \(SH\) là đường cao của hình chóp tam giác đều \( \Rightarrow H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow CH = \dfrac{2}{3}CM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}SH \bot \left( {ABC} \right)\\CH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot CH \Rightarrow \Delta SCH\) vuông tại \(H\)
Áp dụng địng lý Py – ta – go vào \(\Delta SCH\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,S{C^2} = S{H^2} + C{H^2}\\ \Rightarrow S{H^2} = S{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow SH = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)
Ta có: \(OH = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vì \(SH \bot CH\) hay \(OH \bot CH \Rightarrow \Delta OCH\) vuông tại \(H\)
Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta OCH\) vuông tại \(H\), ta có:
\(O{C^2} = C{H^2} + O{H^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(O{A^2} = O{B^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Xét \(\Delta BOC\) có: \(O{C^2} + O{B^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2} = B{C^2}\)
\( \Rightarrow \Delta BOC\) vuông cân tại \(O\) (định lí Py – ta – go đảo) \( \Rightarrow \angle BOC = 90^\circ \)
Chứng minh tương tự ta được: \(\angle AOC = \angle AOC = 90^\circ \)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là