Cho tam giác ABC nhọn AB lt AC nội tiếp đường tròn tâm
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp để bắc cầu góc
b) Vận dụng định lý Ta – lét và tính chất đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
c) Ta sẽ chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(AKM\) thông qua các bổ đề quen thuộc
Giải chi tiết:
a) Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp và \(\Delta KBF \sim \Delta KEC\)
Khi đó \(\frac{{KF}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}} \Rightarrow KB.KC = KE.KF\)
Tứ giác \(BDHF\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {FBH} = \widehat {FDH} & (1)\)
Tứ giác \(CDHE\) nội tiếp, suy ra \(\widehat {HDE} = \widehat {HCE} & (2)\)
Ta có: \(\widehat {FBE} = \widehat {FCE}\left( 3 \right)\)(tứ giác \(BFEC\) nội tiếp)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {FDH} = \widehat {EDH} \Rightarrow HD\) là phân giác của \(\widehat {FDE} & (4)\)
Chứng minh tương tự, ta được:\(HE\) là phân giác của \(\widehat {FED}\left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) \( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF\)
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD,KE\)
Theo tính chất đường phân giác trong của \(\Delta DEF \Rightarrow \frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\left( 6 \right)\)
Ta có \(KD\) là phân giác ngoài của \(\Delta FDE\) tại đỉnh \(D\). Theo tính chất đường phân giác ngoài của \(\Delta DEF \Rightarrow \frac{{KF}}{{KE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\left( 7 \right)\)
Từ (6) và(7) \( \Rightarrow \frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{KF}}{{KE}}\left( 8 \right)\)
Vì \(PQ{\rm{ // }}AC\), theo định lý Ta – let ta có:
\(\frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{FQ}}{{AE}}\)và \(\frac{{KF}}{{KE}} = \frac{{FP}}{{AE}}\left( 9 \right)\)
Từ (8) và (9) \( \Rightarrow \frac{{FQ}}{{AE}} = \frac{{FP}}{{AE}} \Rightarrow FQ = FP\)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KA\) với đường tròn \(\left( O \right)(I\) khác \(A\)) và \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\). Chứng minh được \(BHCA'\) là hình bình hành (bổ đề quen thuộc)
Suy ra ba điểm \(H,M,A'\) thẳng hàng
Vì tứ giác \(AIBC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow KI.KA = KB.KC\)
Theo câu 1) thì \(KB.KC = KF.KE\)
Suy ra \(KI.KA = KF.KE \Rightarrow AIFE\) là tứ giác nội tiếp
Vì ba điểm \(A,E,F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\( \Rightarrow AI \bot HI\)
Ta có \(\widehat {AIA'} = {90^0} \Rightarrow AI \bot A'I\)
Kết hợp với \(AI \bot HI \Rightarrow H,I,A'\) thẳng hàng
Mặt khác ba điểm \(H,M,A'\) thẳng hàng nên 4 điểm \(H,M,I,A'\) thẳng hàng
Xét \(\Delta AKM\)có \(AH \bot KM\)và \(MH \bot AK \Rightarrow H\)là trực tâm \(\Delta AKM\)
Suy ra \(KH \bot AM\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?