a Cho biểu thức P = x - 2 ^2x + 2 x - 1 Tìm số tự nhi
Câu hỏi
Nhận biếtĐáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
a) Dùng hằng đẳng thức phân tích và rút gọn biểu thức \(P\)
b) Sử dụng định lý Bezout và tính chẵn lẻ của hai số nguyên liên tiếp
Giải chi tiết:
a) Cho biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}.\) Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số để \(P\) có giá trị là số chính phương.
Điều kiện xác định: \(x \ge 1\).
\(\begin{array}{l}P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}\\P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}\\P = \frac{{{{\left( {x - 1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}\\P = {\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2}\end{array}\)
Để \(P\) có giá trị là số chính phương thì \(x - 1 = {t^2}\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow x = {t^2} + 1\)
Ta có \(x\) có hai chữ số \( \Leftrightarrow x \le 99 \Leftrightarrow {t^2} \le 98 \Rightarrow t \le 9\) (do \(t \in \mathbb{N}\) )
Vậy số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số là \(x = {9^2} + 1 = 82\) thì \(P\) có giá trị là số chính phương.
b) Cho \(P\left( x \right)\) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7.\) Chứng minh rằng \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.
Giả sử \(P\left( x \right)\) có nghiệm nguyên là \(x = a \Rightarrow P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) cũng là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên.
Khi đó \(P\left( 0 \right) = - a.Q\left( 0 \right)\) và \(P\left( 1 \right) = \left( {1 - a} \right).Q\left( 1 \right)\)
Vì \(a\) và \(a - 1\) là hai số nguyên liên tiếp nên một trong hai số là số chẵn, suy ra \(P\left( 0 \right)\) chẵn hoặc \(P\left( 1 \right)\) chẵn. Mà \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7\) nên \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là