Tìm m để phương trình sin ^4x + cos ^4x + cos ^24x = m
Câu hỏi
Nhận biếtTìm \(m\) để phương trình \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x + {\cos ^2}4x = m\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Sử dụng biến đổi: \({\cos ^4}x + {\cos ^2}4x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).
- Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\) và công thức hạ bậc \({\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\).
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác .
- Đặt ẩn phụ \(t = \cos 4x\), tìm khoảng giá trị của \(t\). Đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).
- Tìm điều kiện để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT hàm số \(f\left( t \right)\) và kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^4}x + {\cos ^4}x + {\cos ^2}4x = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + 1 - \frac{1}{4}\left( {1 - \cos 4x} \right) = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{3}{4} = m\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \cos 4x\), với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow 4x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Khi đó phương trình (1) trở thành: \({t^2} + \frac{1}{4}t + \frac{3}{4} = m\,\,\,\left( 2 \right)\).
Xét đồ thị hàm số \(y = \cos 4x\) trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\):
Với mỗi nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right)\) cho 2 nghiệm \(x\).
Với mỗi nghiệm \(t = 1\) cho 1 nghiệm \(x\).
Do đó, để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình (2) phần có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1;1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + \frac{1}{4}t + \frac{3}{4}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc \(\left[ { - 1;1} \right)\).
BBT đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + \frac{1}{4}t + \frac{3}{4}\):
Dựa vào BBT \( \Rightarrow \frac{{47}}{{64}} < m \le \frac{3}{2}\).
Vậy \(m \in \left( {\frac{{47}}{{64}};\frac{3}{2}} \right]\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?