Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau vô nghiệm
Câu hỏi
Nhận biếtCó bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình sau vô nghiệm?
\({\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + 6 - 3m}}\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + 6 - 3m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + 6 - 3m}} - {\left( {\dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }}} \right)^{{x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + \left( {6 - 3m} \right)}} - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - {x^2} - \left( {2m + 2} \right)x - 2 + m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}}\left( {1 - {{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}^{2{x^2} + \left( {4m + 4} \right)x + 4 - 2m}}} \right) = - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - {x^2} - \left( {2m + 2} \right)x - 2 + m}}\left( {1 - {{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{4{x^2} + \left( {8m + 8} \right)x + 8 - 4m}}} \right)\end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m\) khi đó phương trình trên trở thành
\({\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}}\left( {1 - {{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}^{2t}}} \right) = - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - t}}\left( {1 - {{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{4t}}} \right)\)
Nhận xét: với \(a > 0\) thì \({a^k} > 0\,\,\,\forall k\).
Nếu \(t > 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2t}} > 1\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{4t}} > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT > 0\\VP < 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình trên vô nghiệm.
\(\begin{array}{l}t > 0\,\,\,\forall x \Rightarrow {x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m > 0\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \Delta ' < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {2 - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 2 + m < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2} < m < \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\end{array}\)
Nếu \(t < 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2t}} < 1\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{4t}} < 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT < 0\\VP > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình trên cũng vô nghiệm.
Tuy nhiên \(t < 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m < 0\), chỉ xảy ra tại một số giá trị của \(x\) (không thỏa mãn).
Nếu \(t = 0\) thì \(VT = VT = 0\,\,\,\,\left( {Loai} \right)\)
Vậy có tất cả 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?