Cho hàm số y = d2xx + 2 C Viết phương trình tiếp tuyến
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\), biết khoảng cách từ điểm \(I\left( { - 2;2} \right)\) đến tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a + 2}}} \right)\) với \(a e - 2\) là điểm thuộc đồ thị.
+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.
+ Tính khoảng cách từ \(I\left( { - 2;2} \right)\) đến tiếp tuyến, sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\) là: \(d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
+ Tìm GTLN của biểu thức.
Giải chi tiết:
+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a + 2}}} \right)\) với \(a e - 2\) là điểm thuộc đồ thị.
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:
\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a + 2}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{4}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a + 2}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x - 4a + 2a\left( {a + 2} \right) - {\left( {a + 2} \right)^2}y = 0\\ \Leftrightarrow 4x - {\left( {a + 2} \right)^2}y + 2{a^2} = 0\,\,\,\left( \Delta \right)\end{array}\)
+ Ta có:
\(\begin{array}{l}d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 8 - {{\left( {a + 2} \right)}^2}.2 + 2{a^2}} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left| { - 8a - 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} }} = \dfrac{{8\left| {a + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} }}\end{array}\)
Ta có: \(16 + {\left( {a + 2} \right)^4} \ge 2\sqrt {16.{{\left( {a + 2} \right)}^4}} = 8{\left( {a + 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} \ge 2\sqrt 2 \left| {a + 2} \right|\).
\( \Rightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le \dfrac{{8\left| {a + 2} \right|}}{{2\sqrt 2 \left| {a + 2} \right|}} = 2\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 2\\a + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 4\end{array} \right.\).
+ \(a = 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \(4x - 4y = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)
+ \(a = - 4\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \(4x - 4y + 32 = 0 \Leftrightarrow x - y + 8 = 0\)
Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(y = x\) hoặc \(y = x + 8\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?