Cho xyz là các số thực thuộc đoạn [ 02 ] thỏa mãn điều
![Cho xyz là các số thực thuộc đoạn [ 02 ] thỏa mãn điều](https://tuhoc365.vn/wp-content/uploads/2020/03/qa-238x145.png "Cho xyz là các số thực thuộc đoạn [ 02 ] thỏa mãn điều")
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x,y,z\) là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 3\).
a) Chứng minh rằng \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\).
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)\).
Giải chi tiết:
a) Chứng minh rằng \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \le 0\\y\left( {y - 2} \right) \le 0\\z\left( {z - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \le 2\left( {x + y + z} \right) = 6\) .
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 2\end{array} \right.\\x + y + z = 3\end{array} \right. \Rightarrow \) không tồn tại \(x,\,\,y,\,\,z\) để xảy ra dấu “=”.
Vậy \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\).
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\).
Ta có: \(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)\)\( = 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)\)
\( = \frac{3}{2}\left[ {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - {{\left( {x + y + z} \right)}^2}} \right]\)\( = \frac{3}{2}\left[ {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 9} \right]\)
Theo giả thiết ta có: \(\left( {2 - x} \right)\left( {2 - y} \right)\left( {2 - z} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow 8 - 4\left( {x + y + z} \right) + 2\left( {xy + yz + zx} \right) - xyz \ge 0\)
Từ đó, ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le {x^2} + {y^2} + {z^2} + 8 - 4\left( {x + y + z} \right) + 2\left( {xy + yz + zx} \right) - xyz\)
\(\begin{array}{l} = {\left( {x + y + z} \right)^2} - 4\left( {x + y + z} \right) + 8 - xyz\\ = 5 - xyz \le 5\end{array}\)
Theo chứng minh trên thì \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 5\), từ đó ta suy ra \(P \le \frac{3}{2}.\left( {3.5 - 9} \right) = 9\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right)\) là một hoán vị của \(\left( {2;\,\,1;\,\,0} \right).\)
Vậy \({P_{\max }} = 9\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?