Cho hai khối nón có chung trục SS' = 3r Khối nón thứ nh
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai khối nón có chung trục \(SS' = 3r\). Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm S’ bán kính \(2r\). Khối nón thứ hai có đỉnh S’, đáy là hình tròn tâm S bán kính \(r\). Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Phương pháp giải:
- Xác định thể tích phần chung là thể tích của hai khối nón.
- Sử dụng định lí Ta-lét để tính chiều cao và bán kính đáy của từng khối nón.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối nón: Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Giải chi tiết:
Giả giử một mặt phẳng chứa trục SS’ cắt hình nón đỉnh S theo một thiết diện qua trục là \(\Delta SAB\), cắt hình nón S’ theo một thiết diện qua trục là \(\Delta S'CD\).
Gọi \(M = SA \cap S'D,\,\,N = SB \cap S'C\), \(H = SS' \cap MN\).
Dễ thấy \(AB\parallel CD\) (cùng vuông góc với SS’), do đó áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{SM}}{{AM}} = \dfrac{{SD}}{{S'A}} = \dfrac{r}{{2r}} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{{SN}}{{BN}} = \dfrac{{SC}}{{S'B}} = \dfrac{r}{{2r}} = \dfrac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{AM}} = \dfrac{{SN}}{{BN}} \Rightarrow MN\parallel AB\parallel CD\) (Định lí Ta-lét đảo).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SS'}} = \dfrac{{MH}}{{S'A}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = \dfrac{1}{3}SS' = \dfrac{1}{3}.3r = r\\MH = \dfrac{1}{3}S'A = \dfrac{1}{3}.2r = \dfrac{{2r}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow HS' = SS' - SH = 3r - r = 2r\).
Thể tích phần chung của hai khối nón bao gồm:
+ \({V_1}\) là thể tích khối nón đỉnh S có chiều cao \({h_1} = SH = r\), bán kính \({R_1} = MH = \dfrac{{2r}}{3}\)
\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi R_1^2{h_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{2r}}{3}} \right)^2}.r = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{{27}}\).
+ \({V_2}\) là thể tích khối nón đỉnh \({S_1}\) có chiều cao \({h_2} = S'H = 2r\), bán kính \({R_2} = MH = \dfrac{{2r}}{3}\)
\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi R_2^2{h_2} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{2r}}{3}} \right)^2}.2r = \dfrac{{8\pi {r^3}}}{{27}}\).
Vậy thể tích phần chung của hai khối nón là: \(V = {V_1} + {V_2} = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{{27}} + \dfrac{{8\pi {r^3}}}{{27}} = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{9}\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Bằng kiến thức đã học về cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Tống (1075 - 1077), em hãy:
a. Chỉ ra những nét độc đáo trong cách đánh giặc của Lý Thường Kiệt?
b. Đánh giá vai trò của Lý Thường Kiệt trong cuộc kháng chiến?
-
Người chỉ huy đoàn tham hiểm lần đầu tiên đi vòng quanh trái đất bằng đường biển là
-
Pha Ngừm đã thành lập nước Lan Xang vào năm nào?
-
Kinh đô của nước ta dưới thời Ngô là
-
Em hãy trình bày sự hình thành và phát triển của các vương quốc phong kiến Đông Nam Á từ nửa sau thế kỷ X đến đầu thế kỷ XVI?
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Lào thời phong kiến là
-
Quê hương của phong trào văn hóa Phục hưng là
-
Người Cam-pu-chia đã sáng tạo ra chữ viết vào thời gian nào?
-
Quốc hiệu của nước ta dưới thời Đinh – Tiền Lê là
-
Công trình kiến trúc tiêu biểu của vương quốc Cam-pu-chia thời phong kiến là