Xét các số thực dương x y thỏa mãn log 1 3x + log 1 3y le log 1 3( x^2 + y ). Tìm giá trị nhỏ nhấ
Câu hỏi
Nhận biếtXét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{{1 \over 3}}}x + {\log _{{1 \over 3}}}y \le {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} + y} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 3x + 2y.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\({\log _{{1 \over 3}}}x + {\log _{{1 \over 3}}}y \le {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {xy} \right) \le {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy \ge {x^2} + y \Leftrightarrow y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2}\)
Với x = 1 ta có \(0 \ge 1\) (Vô lý) \( \Rightarrow x \ne 1\).
Ta có \(y\left( {x - 1} \right) = {x^2} \ge 0,\) mà \(y > 0 \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\) Vậy \(x > 1\)
Khi đó ta có :
\(P = 3x + 2y = {{\left( {3x + 2y} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} = {{3x\left( {x - 1} \right) + 2y\left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} \ge {{3{x^2} - 3x + 2{x^2}} \over {x - 1}} = {{5{x^2} - 3x} \over {x - 1}} = f\left( x \right)\,\,\,\forall x > 1\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {{5{x^2} - 3x} \over {x - 1}} = 5x + 2 + {2 \over {x - 1}}\,\,\,\left( {x > 1} \right)\) ta có
\(f'\left( x \right) = 5 - {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{5{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 + {{\sqrt {10} } \over 5} \hfill \cr x = 1 - {{\sqrt {10} } \over 5} \hfill \cr} \right.\)
BBT :
Dựa vào BBT ta thấy
\(\eqalign{ & \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {1 + {{\sqrt {10} } \over 5}} \right) = 5\left( {1 + {{\sqrt {10} } \over 5}} \right) + 2 + {2 \over {1 + {{\sqrt {10} } \over 5} - 1}} = 5 + \sqrt {10} + 2 + \sqrt {10} = 7 + 2\sqrt {10} \cr & \Rightarrow P \ge f\left( x \right) \ge 7 + 2\sqrt {10} \Rightarrow {P_{\min }} = 7 + 2\sqrt {10} \cr} \)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.