Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1) B(1; 0; -3) C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0
Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có (S): (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2
Và 
= (1; -1; -4); 
= (-1; -3; -4)
Mặt phẳng (ABC) có một vec tơ pháp tuyến là 
= (-8; 8; -4)
Suy ra (ABC) có phương trình: -8x + 8(y - 1) - 4(z - 1) = 0⇔ 2x - 2y + z + 1= 0
Ta có VABCD = 
.d(D; (ABC)).SABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d(D; (ABC)) lớn nhất
Gọi D1D2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Ta thấy với D là 1 điểm bất kì thuộc (S) thì
d(D; (ABC)) ≤ max {d (D1; (ABC)); d ( D2, (ABC))}
Dấu = xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2
Đường thẳng D1D2 đi qua I(1; 0; -1) và có vecto pháp tuyến là 
= (2; -2; 1)
Do đó (D1D2) có phương trình: 
Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ 
⇔ 
=> D1(
) hoặc D2 (
)
Ta thấy: d(D1; (ABC)) > d( D2, (ABC))
Vậy điểm D() là điểm cần tìm
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.