Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz xét các điểm A( 0;0;1 );B( m;0;0 );C( 0;n;0 ) D( 1;1;1 ) với m >
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {m;0;0} \right);\,\,C\left( {0;n;0} \right)\), \(D\left( {1;1;1} \right)\) với \(m > 0,n > 0\) và \(m + n = 1\). Biết rằng khi m, n thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D. Tính bán kính R của mặt cầu đó ?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(I\left( {1;1;0} \right)\) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z = 1 \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn = 0\).
Mặt khác \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {m + n - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }}\).
Ta có \({\left( {1 - mn} \right)^2} = 1 - 2mn + {m^2}{n^2}\) ; \(m + n = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + 2mn = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 1 - 2mn\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {1 - mn} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2} \Rightarrow \sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} = \left| {1 - mn} \right|\\ \Rightarrow d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = 1 = ID\end{array}\)
Vậy luôn tồn tại một mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D có bán kính \(R = 1\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
