Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng qua M( 2;1;3 )A( 0;0;4 ) và cắt hai trục
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua \(M\left( {2;1;3} \right),\,A\left( {0;0;4} \right)\) và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại B, C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1?
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Giả sử \(B\left( {b;0;0} \right),\,C\left( {0;c;0} \right),\left( {b,c \ne 0} \right)\). Phương trình mặt phẳng đó là: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{c} + \frac{z}{4} = 1\,\,\,\,\,\left( \alpha \right)\)
Do \(M\left( {2;1;3} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên \(\frac{2}{b} + \frac{1}{c} + \frac{3}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{4}\)
Lại có: Diện tích tam giác OBC bằng 1 \( \Rightarrow \frac{1}{2}\left| {bc} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {bc} \right| = 2 \Leftrightarrow bc = \pm 2\)
+) \(bc = 2 \Rightarrow c = \frac{2}{b}\,\,\,\, \Rightarrow c + \frac{1}{c} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4{c^2} - c + 4 = 0\): vô nghiệm
+) \(bc = - 2 \Rightarrow - c = \frac{2}{b}\,\,\,\, \Rightarrow - c + \frac{1}{c} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4{c^2} + c - 4 = 0\): phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy, có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn: C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
