Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;0;0)B(3;2;4)C(0;5;4). Tìm tọa độ điểm M
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A(1;0;0),\,\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\)nhỏ nhất.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(M\in \left( Oxy \right)\Rightarrow M(m;n;0)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( {1 - m; - n;0} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {3 - m;2 - n;4} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( { - m;5 - n;4} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( {4 - 4m;\,\,12 - 4n;\,\,12} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{(4 - 4m)}^2} + {{(12 - 4n)}^2} + {{12}^2}} \ge \sqrt {{{12}^2}} = 12\end{array}\)
\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 4m = 0}\\{12 - 4n = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy, \(M(1;3;0).\)
Chọn: A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
