Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0, (P): 2x + 2y – z + 16 = 0. Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và bán kính R = 3
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d(I,(P)) =
= 5 =>d > R
Do đó (P) và (S) không có điểm chung.
Do vậy minMN = d – R = 5 – 3 = 2
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0 . Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S).
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của ∆ và (P).
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là 
= (2;2;-1) và qua I nên có phương trình là 
(t∈R)
Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: 2(2 + 2t) + 2(-1 + 2t) – (3 – t) + 16 = 0⇔ 9t + 15 = 0⇔t = - 
= -
Suy ra N0 (-
; -
; 
)
Ta có 
= 
=>M0(0; -3;4)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
