Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình
x^
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\), tâm I nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cố định. Biết rằng \(4a + b - 2c = 4\), tìm khoảng cách từ điểm \(D\left( {1;2; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\) có tâm \(I\left( {a + 4b; - a + b - c;c - b} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = a + 4b\\{y_I} = - a + b - c\\{z_I} = - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - {y_I} - {z_I}\\b = \dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{1}{4}{z_I}\\c = \dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{5}{4}{z_I}\end{array} \right.\)
Mà \(4a + b - 2c = 4 \Rightarrow 4\left( { - {y_I} - {z_I}} \right) + \left( {\dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{1}{4}{z_I}} \right) - 2\left( {\dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{5}{4}{z_I}} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow {x_I} + 17{y_I} + 25{z_I} + 16 = 0\)
Do đó tâm I luôn nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cố định là: \(x + 17y + 25z + 16 = 0\)
Khoảng cách từ điểm \(D\left( {1;2; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(d\left( {D;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 17.2 + 25.\left( { - 2} \right) + 16} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{17}^2} + {{25}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {915} }}\).
Chọn: D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.