Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H( 2;1;1 ). Mặt phẳng (
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(H \left( 2;1;1 \right) \). Mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) đi qua H, cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) là :
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)\). Khi đó phương trình mp(ABC) có dạng \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Vì \(H\left( 2;1;1 \right)\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Vì H là trực tâm của tam giác ABC
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 - a;1;1} \right).\left( {0; - b;c} \right) = 0\\\left( {2;1 - b;1} \right).\left( { - a;0;c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b + c = 0\\ - 2a + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = b\\c = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\a = \frac{c}{2}\end{array} \right.\).
Thay vào (1) ta có : \(\frac{4}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{6}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\end{array} \right.\)
Vậy phương trình mp(ABC) là \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 2x+y+z-6=0\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.