Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H( 1;2; - 2 ). Mặt phẳng ( alpha ) đi qua H và cắt các
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(H\left( {1;\,2; - 2} \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(H\) và cắt các trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cách giải:
Gọi \(A\left( {a;\,\,0;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,b;\,0} \right),\,\,C\left( {0;\,0;\,c} \right)\) lần lượt thuộc các trục tọa độ \(Ox,\,Oy,\,Oz.\)
Khi đó ta có phương trình \(\left( \alpha \right)\) đi qua các điểm \(A,\,\,B,\,\,C:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\)
\(H \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Theo đề bài ta có \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right..\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {1 - a;\,\,2; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;\,\,c} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {1;\,2 - b; - 2} \right),\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - a;\,0;\,c} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b - 2c = 0\\ - a - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2c\\b = - c\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{ - 2c}} + \frac{2}{{ - c}} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow - \frac{9}{{2c}} = 1 \Leftrightarrow c = - \frac{9}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2c = 9\\b = - c = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {9;\,\,0;\,\,0} \right)\\B\left( {0;\,\frac{9}{2};\,0} \right)\\C\left( {0;\,0; - \frac{9}{2}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Gọi \(I\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác \(OABC.\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.