Trong không gian tọa độ Oxyz mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 1 cắt 3 trục tọa độ t
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 1, cắt 3 trục tọa độ tại A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC bằng
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right) \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
\(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu râm \(O\) bán kính \(1\) nên \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = 1\).
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(1 = \frac{1}{{{{\left| a \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| b \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| c \right|}^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left| {abc} \right|}^2}}}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left| {abc} \right|}^2}}}}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left| {abc} \right|}^2}}} \le \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow {\left| {abc} \right|^2} \ge 27 \Leftrightarrow \left| {abc} \right| \ge 3\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {abc} \right| \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.