Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;0;0)B(5;6;0). M là điểm thay đổi trên mặt cầu ( S ):x^2
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(1;0;0),B(5;6;0).\) M là điểm thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\) Tập hợp các điểm M trên mặt cầu (S) thỏa mãn \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\) có bao nhiêu phần tử?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Vì \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).
Theo bài ra ta có \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\left( {a - 1} \right)^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {c^2} = 48\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} - 16a - 12b + 64 = 48\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 16a - 12b + 64 = 48\\ \Leftrightarrow 4 - 16a - 12b + 64 = 48 \Leftrightarrow 16a + 12b - 20 = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow M \in \left( P \right):\,\,4x + 3y - 5 = 0\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính \(R = 1\).
Ta có \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1 = R \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại 1 điểm duy nhất.
Vậy có duy nhất 1 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.