Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A B thay đổi trên mặt cầu x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 25 thỏa m
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A, B thay đổi trên mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 25\) thỏa mãn \(AB = 6\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(O{A^2} - O{B^2}\) là
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = 5\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IH \bot AB\).
Ta có: \(O{A^2} - O{B^2} = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {BA} .2\overrightarrow {OH} \).
\( = \overrightarrow {BA} .2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IH} } \right) = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {OI} + 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH} \).
Do \(IH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH} = 0 \Rightarrow O{A^2} - O{B^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {OI} \).
\( = 2BA.OI.\cos \angle \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {OI} } \right) \le 2BA.OI = 2.6.\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} = 12\).
Vậy \(\max \left( {O{A^2} - O{B^2}} \right) = 12\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.