Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ):x^2 + y^2 + ( z - căn 2 )^2 = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - \sqrt 2 } \right)^2} = 3\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(A\left( {a;\,b;\,c} \right)\) (\(a,b,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) qua \(A\) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,\sqrt 2 } \right)\) bán kính \(R = \sqrt 3 \).
Ta có : \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = \sqrt 2 < R\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Dề có tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua \(A\) thì \(AI \ge R = \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)\).
Có \(A \in \left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow A\left( {a;b;0} \right)\), \(IA = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2} \).
Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua \(A\) của \(S\) là một mặt nón nếu \(AI > R\) và là một mặt phẳng nếu \(AI = R\).
+) TH1 : Quỹ tích là mặt phẳng thì chắc chắn có ít nhất \(2\) tiếp tuyến của \(S\) đi qua \(A\) và vuông góc với nhau.
+) TH2 : Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua \(A\) của \(\left( S \right)\) là một mặt nón, gọi \(AM\) và \(AN\) là hai tiếp tuyến sao cho \(A,N,I,N\) đồng phẳng.
Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua \(A\) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\widehat {MAN} \ge {90^0}\) \( \Leftrightarrow IA \le R\sqrt 2 = \sqrt 6 \,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\sqrt 3 \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2} \le \sqrt 6 \Leftrightarrow 1 \le {a^2} + {b^2} \le 4\).
Do \(a,b \in \mathbb{Z}\) nên \({a^2} + {b^2} \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)
+ TH1 : \({a^2} + {b^2} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 0\end{array} \right.\) nên có \(4\) bộ số thỏa mãn.
+ TH2 : \({a^2} + {b^2} = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 1\end{array} \right.\) nên có \(4\) bộ số thỏa mãn.
+ TH3 : \({a^2} + {b^2} = 3\) thì không có \(a,b \in \mathbb{Z}\) nên loại.
+ TH4 : \({a^2} + {b^2} = 4\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{b^2} = 4\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 0\end{array} \right.\) nên có \(4\) bộ số thỏa mãn
Vậy có \(4 + 4 + 4 = 12\) bộ số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn bài toán hay có \(12\) điểm \(A\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
