Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có A'
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian \(Oxyz \), cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C' \) có \(A' \left( { \sqrt 3 ; - 1;1} \right) \), hai đỉnh \(B,C \) thuộc trục \(Oz \) và \(AA' = 1 \) ( \(C \) không trùng với \(O \)). Biết véc tơ \( \overrightarrow u = \left( {a;b;2} \right) \) với \(a,b \in \mathbb{R} \) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C \). Tính \(T = {a^2} + {b^2} \).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình \(BC \equiv Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\).
Mặt phẳng \(\left( {AMM'A'} \right)\) đi qua \(A'\) và vuông góc với \(BC\) nên \(\left( {AMM'A'} \right)\) đi qua \(A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm VTPT hay \(\left( {AMM'A'} \right):0\left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1\).
\(M = BC \cap \left( {AMM'A'} \right) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)\)
Mà \(AA' = 1,A'M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 2\) \( \Rightarrow AM = \sqrt {A'{M^2} - A'{A^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Tam giác \(ABC\) đều có độ dài đường cao \(AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow BC = 2\)
Gọi \(B\left( {0;0;m} \right),C\left( {0;0;n} \right)\) với \(n \ne 0\) thì \(BC = 2 \Leftrightarrow \left| {m - n} \right| = 2\) và \(M\left( {0;0;1} \right)\) là trung điểm \(BC \Leftrightarrow \dfrac{{m + n}}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2\).
Khi đó \(m = 0,n = 2\) vì \(n \ne 0\) hay \(C\left( {0;0;2} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'C} = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right)\) hay \(2\overrightarrow {AC'} = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;2} \right)\) là một VTCP của \(A'C\).
Suy ra \(a = - 2\sqrt 3 ,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} = 16\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
