Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1:dx-3-1=dy-3-2=dz+21;d2:dx-5-3=dy+12=dz-21 và mặt phẳn
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{1};{{d}_{2}}:\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+3z-5=0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), cắt \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình là
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cách 1:
Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \) . Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}={{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;2;3 \right)\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\dfrac{x-{{x}_{0}}}{1}=\dfrac{y-{{y}_{0}}}{2}=\dfrac{z-{{z}_{0}}}{3}\)
Gọi
\(\begin{align} & A={{d}_{1}}\cap \Delta \Rightarrow A\left( 3-t;3-2t;-2+t \right) \\ & B={{d}_{2}}\cap \Delta \Rightarrow B\left( 5-3t';-1+2t';2+t' \right) \\ \end{align}\)
Ta thử từng đáp án:
Đáp án A:
\(\begin{array}{l}
A \in \Delta \Rightarrow \dfrac{{3 - t - 1}}{1} = \dfrac{{3 - 2t + 1}}{2} = \dfrac{{ - 2 + t}}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2 - t}}{1} = \dfrac{{4 - 2t}}{2} = \dfrac{{ - 2 + t}}{3} \Leftrightarrow 12 - 6t = - 4 + 2t \Leftrightarrow t = 2\\
\Rightarrow A\left( {1; - 1;0} \right)\\
B \in \Delta \Rightarrow \dfrac{{5 - 3t' - 1}}{1} = \dfrac{{ - 1 + 2t' + 1}}{2} = \dfrac{{2 + t'}}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{4 - 3t'}}{1} = t' = \dfrac{{t' + 2}}{3} \Leftrightarrow t' = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;3} \right)
\end{array}\)
Vậy đáp án A có đường thẳng \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}\) vuông góc với mp(P) và cắt d1 tại\(A\left( 1;-1;0 \right)\) , cắt d2 tại \(B\left( 2;1;3 \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Gọi đường thẳng cần tìm là d.
Gọi \(A = d \cap {d_1} \Rightarrow A\left( { - t + 3; - 2t + 3;t - 2} \right)\); \(B = d \cap {d_2} \Rightarrow B\left( { - 3t' + 5;2t' - 1;t' + 2} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3t' + t + 2;2t' + 2t - 4;t' - t + 4} \right)\)
Ta có \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2;3} \right)\). Do \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \) hai vector \(\overrightarrow {AB} \) và \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\) cùng phương
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{ - 3t' + t + 2}}{1} = \dfrac{{2t' + 2t - 4}}{2} = \dfrac{{t' - t + 4}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6t' + 2t + 4 = 2t' + 2t - 4\\ - 9t' + 3t + 6 = t' - t + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8t' = - 8\\ - 10t' + 4t = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 1\\t = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow A\left( {1; - 1;0} \right);B\left( {2;1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\end{array}\)
Vậy \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{z}{3}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
